Tα μαθηματικά στην ποίηση – Μέρος 3ο | Kρυμμένες δομές, τεχνικές ομορφιάς και ελευθερία

Γράφει ο Δημήτρης Γαβαλάς // *

 

 

Διαβάστε το 1ο μέρος >> εδώ

Διαβάστε το 2ο μέρος >> εδώ

 

 

Το άρθρο επικεντρώνεται στην έρευνα, από διάφορες πλευρές, της σχέσης Μαθηματικών και Ποίησης. Το πρώτο μέρος παρουσιάζει απόψεις για την ομορφιά στα Μαθηματικά και στην Τέχνη, από τη σκοπιά πολλών αξιόλογων δημιουργών, μαθηματικών και καλλιτεχνών. Συζητούνται επίσης οι κοινές τεχνικές της ‘μετατόπισης’ και ‘ανατροπής’ και ο ρόλος των κρυμμένων δομών, της φαντασίας και της ασυνείδητης γνώσης. Το δεύτερο μέρος τονίζει τη σχέση ανάμεσα στα Μαθηματικά και την Ποίηση όπως παρουσιάζεται στο όραμα που έχουν σπουδαίοι μαθηματικοί και ποιητές και προβάλλεται ως ενοποιητικός παράγοντας η ελευθερία της δημιουργικής πράξης.  

 

 

 

 

ΜΕΡΟΣ 1: ΚΡΥΜΜΕΝΕΣ ΔΟΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΗΣ ΟΜΟΡΦΙΑΣ   

 

1. Το Αιώνιο Ερώτημα για την Ομορφιά

 

Ο ποιητής Shelley ισχυρίζεται ότι «η ποίηση είναι η έκφραση της φαντασίας. Σε αυτή, τα διαφορετικά πράγματα συγκεντρώνονται σε αρμονία αντί να διαχωρίζονται μέσω ανάλυσης». Ο de Morgan –μαθηματικός αυτός- λέει ότι «η κινητήρια δύναμη της μαθηματικής εφεύρεσης δεν είναι ο λόγος, αλλά η φαντασία». Ο επίσης μαθηματικός Sylvester διατείνεται ότι «τα Μαθηματικά ασχολούνται με την κατανόηση των διαφορών μεταξύ όμοιων πραγμάτων και με ό,τι μοιράζονται τα διαφορετικά πράγματα». 

Ο μαθηματικός David Hilbert, διαπίστωσε ότι ένας από τους σπουδαστές του είχε αρχίσει να αγνοεί τις διαλέξεις του. Αναζητώντας τον λόγο, πληροφορήθηκε ότι ο σπουδαστής είχε αφήσει τα Μαθηματικά υπέρ της Ποίησης. «Αχ, ναι», είπε ο Hilbert, «πάντα πίστευα ότι δεν είχε αρκετή φαντασία για τα Μαθηματικά». Αλλά δεν είναι ο μόνος που συγκρίνει τους μαθηματικούς με τους ποιητές, υπέρ των πρώτων. «Υπήρχε περισσότερη φαντασία στο κεφάλι του Αρχιμήδη παρά σε εκείνο του Ομήρου» είναι τα λόγια του Βολταίρου. Ακόμη και οι ποιητές φαίνεται να συμφωνούν –η Αμερικανίδα ποιήτρια Edna St. Vincent Millay έγραψε ένα σονέτο με τίτλο «Μόνο ο Ευκλείδης αντίκρισε την ομορφιά γυμνή». 

Όλα αυτά θέτουν το ερώτημα: Πώς ο αυστηρός, γενικευμένος και αφηρημένος κόσμος των Μαθηματικών μοιάζει με τον κόσμο της Τέχνης; Για να περιοριστούμε σε μια συγκεκριμένη πτυχή αυτής της ερώτησης: Τι κοινό έχουν τα Μαθηματικά με την Ποίηση; Μια απάντηση είναι ότι τόσο τα Μαθηματικά όσο και η Ποίηση αναζητούν κρυμμένα μοτίβα/ πρότυπα/ δομές. Ο μαθηματικός και ο ποιητής, προσπαθούν να εντοπίσουν κρυμμένους μηχανισμούς κάτω από τις εξωτερικές μορφές. 

Ό,τι κάνει η Ποίηση στα συναισθήματα ή στους ανθρώπινους πόθους, το κάνουν τα Μαθηματικά στην τάξη του φυσικού κόσμου: προσπαθούν να εντοπίσουν την εσωτερική λογική των πραγμάτων. Αλλά αυτό δεν μπορεί να είναι η πλήρης απάντηση στην ερώτηση. Κάθε επιστήμη, αναζητά τους κανόνες που υπόκεινται της πραγματικότητας, όμως γι’ αυτό δεν την συγκρίνουμε με την Ποίηση. Τι ιδιαίτερο έχουν λοιπόν τα Μαθηματικά που κάνει μια τέτοια σύγκριση φυσική; Η απάντηση βρίσκεται σε ένα άλλο, πιο εμφανές, κοινό χαρακτηριστικό: τα Μαθηματικά και η Ποίηση μοιράζονται το ίδιο είδος ομορφιάς.  

Το μυστικό της έλξης που ασκούν τα Μαθηματικά σε επαγγελματίες και ερασιτέχνες δεν κρύβεται στις εφαρμογές τους. Οι περισσότεροι εμπλέκονται σε αυτά για έναν εντελώς διαφορετικό λόγο: την ομορφιά. Μαθηματικοί και ποιητές συχνά επαναλαμβάνουν την ίδια άποψη: η ομορφιά των Μαθηματικών είναι ίδια με αυτή της Ποίησης. Ποιος είναι ο κοινός μηχανισμός στα Μαθηματικά και την Ποίηση που δημιουργεί ομορφιά με έναν παρόμοιο τρόπο; Συγκεκριμένα, μελετώνται δύο κοινές τεχνικές που παράγουν ομορφιά και στα δυο, Ποίηση και Μαθηματικά: αφενός η ‘μετατόπιση’ και αφετέρου οι ‘απροσδόκητες ανατροπές και επινοήσεις’.  

Μιλάμε, λοιπόν,  γι’ αυτό το κοινό χαρακτηριστικό και αναφερόμαστε στους τρόπους με τους οποίους η ομορφιά των ποιημάτων μοιάζει με την ομορφιά των μαθηματικών επιχειρημάτων. Αυτό απαιτεί να αγγίξει κάποιος την ερώτηση: Τι είναι ομορφιά; Μια απάντηση μπορεί να ενσωματωθεί στη λέξη ‘μαγεία’. Η αίσθηση της ομορφιάς είναι το αποτέλεσμα  και το ανάλογο ενός κόλπου (trick), μιας επιτηδειότητας του χεριού/  ταχυδακτυλουργίας, ενός μαγικού, που εμποδίζει τον θεατή να παρακολουθήσει αυτό που πραγματικά συμβαίνει.  

 

 

 

 

Ιδού ένα παράδειγμα μαγείας στην Ποίηση -το ποίημα της Emily Dickinson XLVII: 

 

Ανεμοδαρμένη! Μικρή ανεμοδαρμένη βάρκα!  

Και η νύχτα πέφτει!   

Κανένας δεν θα οδηγήσει μια μικρή βάρκα  

Στην πλησιέστερη πόλη;  

 

Έτσι λένε οι ναύτες, χθες,  

Καθώς το σούρουπο ήταν καφέ,  

Μια μικρή βάρκα έδωσε τη μάχη της,  

Και βούλιαζε γαργαρίζοντας όλο και πιο βαθιά. 

 

Αλλά οι άγγελοι λένε, χθες,  

Καθώς η αυγή ήταν κόκκινη,  

Μία μικρή βάρκα που εξαντλήθηκε στην καταιγίδα  

Ξανάφτιαξε τους ιστούς της, ξανάνοιξε τα πανιά της  

Θριαμβικά, πρόσω ολοταχώς! 

  

Η Dickinson δεν θα τολμούσε να εκθέσει τον εαυτό της γυμνό στην πραγματική ζωή όπως κάνει σε αυτό το ποίημα -όλα είναι λόγια που περιγράφουν τη ζωή της όσο το δυνατόν πιο σύντομα, αλλά που πιθανότατα δεν θα είχε τολμήσει να πει φωναχτά ακόμη και στον εαυτό της.  

Η μεταφορά επέτρεψε σε αυτήν να εκφράσει όλα αυτά χωρίς να τα αντιμετωπίζει άμεσα. Είναι ‘ασυνείδητη γνώση’, γνωρίζοντας χωρίς να γνωρίζουμε πραγματικά. Ένα ποίημα είναι ένα χέρι που, αντί να κλέβει κάτι από την τσέπη μας, βάζει κάτι χωρίς να το προσέξουμε. Αλλά, η πραγματική δύναμη αυτού του ποιήματος είναι στο μήνυμα ότι αυτό που είναι ορατό στην επιφάνεια είναι μόνο μία πτυχή της πραγματικότητας. Οι εσωτερικές δυνάμεις έχουν μεγαλύτερη σημασία. Η μικρή βάρκα που συγκλονίζεται από τις θύελλες κρύβει ένα πολύ γενναίο σκάφος˙ και ακόμα και αν φαίνεται ότι πρόκειται να βυθιστεί, σε άλλη διάσταση απλώνει τα πανιά του και ξεκινάει. Μπορούσε η ζωή της Dickinson να απεικονιστεί πιο όμορφα από αυτό; Αντιλαμβανόμαστε την ομορφιά αυτού του ποιήματος αμέσως μόλις το διαβάσουμε, ακόμα και πριν αναλύσουμε το περιεχόμενό του. 

Στα Μαθηματικά υπάρχει ομόφωνη συναίνεση για το τι κάνει ένα επιχείρημα όμορφο. Κάθε μαθηματικός συμφωνεί ότι μια μαθηματική ιδέα είναι όμορφη αν αποκαλύπτει κάποια εκπληκτική εσωτερική δομή. Τέτοιες ιδέες φαίνεται να εμφανίζονται από το πουθενά και να ρίχνουν φως στα πράγματα. Αυτή η εμφάνιση είναι συνήθως ξαφνική, πολύ γρήγορη για τον συνειδητό μας νου να την αναλύσει ή να την αφομοιώσει πλήρως ακαριαία -η αναλυτική μας κατανόηση υστερεί από την ασυνείδητη κατανόηση. Όπως και σε ένα ποίημα, έχει σημειωθεί μια λαθροχειρία, μια επιτηδειότητα  χειρός, αλλά σε αντίθεση με τη συνηθισμένη μαγεία δεν εξαπατώμεθα -αποκτάμε κάποια βαθιά κατανόηση. 

Σύμφωνα με αυτά, η αίσθηση ομορφιάς στην Ποίηση και τα Μαθηματικά είναι το αποτέλεσμα της άμεσης και ασυνείδητης αντίδρασής μας σε μια κρυμμένη δομή. Αυτή η κρυμμένη δομή μπορεί να είναι τόσο περίπλοκη, ώστε ποτέ να μην κατανοηθεί πλήρως συνειδητά ή μπορεί να είναι απλή και εύκολη στην κατανόησή της εάν την αναστοχαστούμε αργότερα. Όμως, ανεξάρτητα από την περίπτωση, η πρώτη μας απόκριση σε αυτήν δεν μειώνεται ποτέ με την πλήρη ανάλυση ή βαθύτερη κατανόηση του ποιήματος ή του μαθηματικού επιχειρήματος. Αυτός είναι ο λόγος που μπορούμε να διαβάσουμε ένα ποίημα χίλιες φορές και να το απολαύσουμε -αν και ακόμα και τότε δεν μπορούμε να κατανοήσουμε όλες του τις αποχρώσεις. Και για τον λόγο αυτό, ένα μαθηματικό κόσμημα μπορεί να μας εντυπωσιάσει ακόμα και μετά από χίλιες συναντήσεις. Ακριβώς όπως μπορούμε να ακούσουμε ξανά και ξανά μια συμφωνία του Μότσαρτ και να την απολαμβάνουμε -η τάξη είναι τόσο περίπλοκη που αντιλαμβανόμαστε το μεγαλύτερο μέρος της μόνο ασυνείδητα. Ενδεχομένως ακόμη και ένας συνθέτης δεν γνωρίζει συνειδητά όλους τους πολύπλοκους ελιγμούς που είναι κρυμμένοι στις συνθέσεις του, καθώς και ο ποιητής μπορεί να μην γνωρίζει όλα τα στρώματα των εννοιών που είναι κρυμμένα στο ποίημα του. Μπορούν να αναφερθούν εδώ δύο παραδείγματα τεχνικών, που χρησιμοποιούνται τόσο στα Μαθηματικά όσο και στην Ποίηση, για να δημιουργήσουν αίσθηση ομορφιάς. 

 

2. Ο Μηχανισμός τηςΜετατόπισης ως Δημιουργός Ομορφιάς 

   

Η πρώτη τεχνική, που εμφανίζεται σε όλους σχεδόν τους τομείς της ανθρώπινης σκέψης, είναι η ‘μετατόπιση’ (displacement)˙ ο όρος επινοήθηκε από τον Φρόιντ, ο οποίος την ανακάλυψε αναλύοντας τα όνειρα. Η ‘μετατόπιση’ είναι η εκτροπή/ μεταφορά της προσοχής από ένα κεντρικό σημείο σε ένα δευτερεύον. Ο κύριος χαρακτήρας του έργου/ παιχνιδιού παραμερίζεται προς τις σκοτεινές άκρες της σκηνής, ενώ οι προβολείς επικεντρώνονται σε ένα λιγότερο σημαντικό χαρακτήρα. Η κύρια ιδέα παρουσιάζεται έτσι παρεμπιπτόντως, σαν να ήταν πρόχειρη. Στα όνειρα, όπως ισχυρίζεται ο Φρόιντ, ο στόχος της ‘μετατόπισης’ είναι να κρύψει κάποιο απαγορευμένο περιεχόμενο, επιτρέποντας στο μήνυμα να αποσπά την προσοχή από τις αναστολές μας.  

Πιο αναλυτικά, λέγοντας μετατόπιση, ο Φρόιντ αναφέρεται στο ότι ένα περιεχόμενο/ στοιχείο του ασυνειδήτου, που συχνά είναι πολύ σπουδαίο, εκφράζεται από ένα απομακρυσμένο στοιχείο στο συνειδητό, συνήθως ένα στοιχείο που φαίνεται να είναι πέρα για πέρα ασήμαντο. Ως αποτέλεσμα, το ασυνείδητο συχνά μεταχειρίζεται τα πραγματικά σπουδαία στοιχεία σαν να μην έχουν ιδιαίτερη σημασία και έτσι αποκρύβει την αληθινή σημασία τους. Έτσι, συναισθήματα ή παρορμήσεις μεταφέρονται από το αρχικό αντικείμενο (πρόσωπο, πράγμα ή κατάσταση) σε ένα υποκατάστατο, το οποίο αποκτά σημασία και συνιστά ένα πιο αποδεκτό ή λιγότερο απειλητικό αντικείμενο. Η μετατόπιση είναι ένας βασικός μηχανισμός άμυνας˙ όταν υπηρετεί έναν ανώτερο πολιτιστικό ή κοινωνικά ωφέλιμο στόχο, όπως κατά τη στιγμή της καλλιτεχνικής δημιουργίας ή της εφεύρεσης, υπάρχει εξιδανίκευση. 

Στα Μαθηματικά και στην Ποίηση το αποτέλεσμα της μετατόπισης είναι η ομορφιά. Είναι η επιτηδειότητα του μάγου, που λέει στο ακροατήριό του «Κοιτάξτε τι κάνω με το δεξί μου χέρι», κάνοντας το κόλπο με το αριστερό του χέρι. Ακολουθεί ένα παράδειγμα αυτής της τεχνικής στο ποίημα ‘Για Μένα’ από την ποιήτρια Lea Goldberg. Είναι ένα ποίημα ‘ars poetica’, δηλαδή μιλάει για την Ποίηση του συγγραφέα του. Η Goldberg εξετάζει τη σχέση μεταξύ της Ποίησης και της ζωής της και φτάνει σε ένα οδυνηρό συμπέρασμα: 

 

Για Μένα 

 

Οι εικόνες μου είναι  

Διαφανείς όπως τα παράθυρα στην εκκλησιά:  

Μέσα από αυτά  

Μπορεί κάποιος να δει   

Πώς μετατοπίζεται το φως του ουρανού   

Και πώς οι αγάπες μου  

Πέφτουν  

Όπως πεθαίνουν τα πουλιά. 

 

Η πιο διαφανής στρατηγική αυτού του ποιήματος είναι η μεταφορά˙ στην πραγματικότητα, μια μεταφορά μέσα σε μια μεταφορά. Τα ποιήματα συγκρίνονται με τις εικόνες και οι εικόνες με τη σειρά τους παρομοιάζονται με τα παράθυρα της εκκλησίας. Αλλά η καρδιά του ποιήματος είναι στις τρεις τελευταίες γραμμές του, στις οποίες η ποιήτρια λέει με οδυνηρή ειλικρίνεια για τη μοίρα των αγαπημένων της. «Ζω μέσα στα ποιήματά μου», αποκαλύπτει στα Ημερολόγιά της, «ενώ στην πραγματικότητα οι αγάπες μου πέφτουν νεκρές» –ένα παράπονο που συνόδευε την Goldberg σε όλη της τη ζωή.  

 

Επιπλέον, υπονοεί ότι τα δύο σχετίζονται: οι αγάπες της πεθαίνουν εξαιτίας των ποιημάτων, όπως ακριβώς τα πουλιά συντρίβονται στα παράθυρα. Η ειλικρίνεια από μόνη της, ωστόσο, δεν παράγει ομορφιά, και αν το μήνυμα είχε παραδοθεί απευθείας, το ποίημα δεν θα ήταν τόσο αποτελεσματικά συγκινητικό. Το μήνυμα διαπερνά τη θωράκιση του αναγνώστη με τη χρήση ενός απροκάλυπτου τρικ: την τυχαία, πρόχειρη, δήλωση του μηνύματος. Αυτό αφήνει τον αναγνώστη απροετοίμαστο˙ πιστεύει ότι τα ποιήματα-παράθυρα και τα πουλιά-αγάπες που βλέπει μέσα από αυτά, χρησιμεύουν μόνο για να τονίσει τη διαφάνεια των παραθύρων. Οι νεκρές αγάπες παρουσιάζονται ως απλή απεικόνιση κάποιου άλλου. Αλλά, φυσικά, φέρνουν ένα πολύ ισχυρότερο μήνυμα από το γεγονός που προφανώς σκοπεύουν να παραδειγματίσουν. Αυτή είναι η μετατόπιση. Η τυχαία επικοινωνία των ισχυρών συναισθημάτων έχει μεγάλη δύναμη, παρέχοντας το μήνυμα ασυνείδητα. 

Ο αναγνώστης αισθάνεται σαν να ψηλαφίζεται από ένα φτερό -δεν είναι βέβαιος αν το φτερό τον άγγιξε ή όχι. Αυτό προκαλεί μια φρεσκάδα, η καλύτερη μαρτυρία για την ύπαρξη ενός καλού ποιήματος, όπως επεσήμανε η ίδια η Dickinson σε μια διάσημη επιστολή προς τον συνταγματάρχη Higginson: «Αν διαβάσω ένα βιβλίο και κάνει ολόκληρο το σώμα μου τόσο κρύο που δεν μπορεί ποτέ καμιά φωτιά να με θερμάνει, ξέρω ότι είναι ποίηση. Αν αισθάνομαι φυσικά σαν να έβγαζα την κορυφή του κεφαλιού μου, ξέρω ότι είναι ποίηση. Αυτοί είναι οι μόνοι τρόποι που το ξέρω. Υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος;». 

Στα Μαθηματικά και στην Επιστήμη γενικά, η αλλαγή προοπτικής είναι συχνά το κλειδί για την επίλυση ενός προβλήματος. Ο ρόλος της μετατόπισης εδώ είναι διαφορετικός από αυτόν που έχει στην Ποίηση. Η αλλαγή της προοπτικής δεν έχει σκοπό να αποκρύψει το μήνυμα, αλλά να εκθέσει τα πράγματα σε νέο φως. Αλλά και οι δύο παράγουν ομορφιά με τον ίδιο τρόπο. Και στις δύο περιπτώσεις το μήνυμα δεν είναι πλήρως κατανοητό στην πρώτη συνάντηση, πριν μια βαθύτερη ανάλυση το κάνει σαφέστερο. Τα πράγματα συμβαίνουν πολύ γρήγορα˙ η ιδέα είναι τόσο νέα, που δεν απορροφάται συνειδητά στο αρχικό της πλαίσιο, παρ’ όλο που μπορεί να φαίνεται απλή όταν αναλυθεί πλήρως. 

 

3. Οι Απροσδόκητες Ανατροπές Φέρνουν τη Μεγαλύτερη Πληροφορία

 

Η όμορφη Ποίηση, όπως και τα όμορφα Μαθηματικά, είναι πάντα εκπληκτική. Το πλέον αναμενόμενο πράγμα για τα ποιήματα είναι ο απροσδόκητος συνδυασμός ιδεών που βρίσκονται σε αυτά. Εκτός από τους εκπληκτικούς συνδυασμούς, υπάρχουν επίσης απροσδόκητες/  μη αναμενόμενες / αναπάντεχες ανατροπές (unexpected twists), οι οποίες εξυπηρετούν τον σκοπό της ‘ασυνείδητης γνώσης’ με πολύ ιδιαίτερο τρόπο. Τα ποιήματα με ανατροπές ονομάστηκαν ‘ποιήματα που αλλάζουν’: είναι ποιήματα στα οποία υπάρχει μια στροφή ή ένας στίχος, συνήθως στο τέλος, που αλλάζει ολόκληρη την προοπτική του αναγνώστη.  

Ιδού ως παράδειγμα το διάσημο εβραϊκό ποίημα ‘Δείτε τον Ήλιο’, από τον μεσαιωνικό ποιητή Solomon Ibn Gabirol (1021-1058).  

 

Δείτε τον Ήλιο 

 

Δείτε τον ήλιο να γίνεται κόκκινος προς το βράδυ,  

σαν να φορούσε πορφυρό φόρεμα,  

απογυμνώνοντας τις άκρες του βορρά και του νότου  

περιβάλλοντας στα βιολετιά, τον άνεμο από τη δύση: 

 

και η γη -αφημένη στη γύμνια της- 

καταφεύγει στη σκιά της νύχτας, και αναπαύεται,  

και μετά οι ουρανοί μαυρίζουν,  

σαν να καλύπτονται με πένθιμο ρούχο,  

για τον θάνατο του Yequtiel.  

 

Αυτό το ποίημα φαίνεται σύγχρονο, παρά την ηλικία του. Αντλεί τη δύναμή του από τρεις ποιητικές επινοήσεις: 

(i) Μια είναι η μετατόπιση: ο θάνατος του Yequtiel μνημονεύεται πρόχειρα, σαν να αποτελούσε μόνο μέρος μιας μεταφοράς για τον ουρανό που μαυρίζει από το πένθος. Αυτό θυμίζει το τέχνασμα της Lea Goldberg, αναφέροντας τον θάνατο των αγαπημένων της ως απλή απεικόνιση της διαφάνειας των παραθύρων της εκκλησίας. 

(ii) Μια άλλη επινόηση είναι η ποιητική υπερβολή -η υπερβολική έκφραση του πένθους. Ο πόνος για τον θάνατο του Yequtiel γίνεται αισθητός από ολόκληρο τον κόσμο -τη γη, τον ουρανό, τον ήλιο. Περιγράφεται ως το σκοτίδιασμα ολόκληρου του κόσμου. Οι ποιητικές υπερβολές φαίνονται παράδοξες –αντιβαίνουν στη γενική υποδήλωση και στη μη σαφήνεια των ποιημάτων. Είναι ακριβώς το αντίθετο της υποδήλωσης. Αλλά αυτό το παράδοξο είναι εξαιρετικό. Στην πραγματικότητα, οι υπερβολές εξυπηρετούν τον ίδιο σκοπό όπως και άλλες ποιητικές επινοήσεις, εκείνη της αποσύνδεσης μεταξύ της εξωτερικής έκφρασης και του εσωτερικού νοήματος. Όταν ένα συναίσθημα είναι υπερβολικό και αποδίδεται στον κόσμο και όχι στον φορέα του, δεν βρίσκεται πλέον σε κλίμακα που πρέπει να αντιμετωπιστεί σε προσωπικό επίπεδο. Στο ‘Δείτε τον Ήλιο, η προβολή του πένθους του στον ουρανό καθιστά ευκολότερο για τον ποιητή να υποφέρει τον πόνο του. 

(iii) Αλλά ίσως η πιο αποτελεσματική επινόηση είναι η τρίτη: η απροσδόκητη ανατροπή στο τέλος του ποιήματος. Το πραγματικό νόημα του ποιήματος αποκαλύπτεται μόνο στον τελευταίο στίχο. Η ομορφιά αυτού έγκειται στο γεγονός ότι όλα όσα ήρθαν πριν από την ανατροπή αποκτούν ξαφνικά νέο νόημα. Αυτό που συμβαίνει λοιπόν είναι ότι ο αναγνώστης πρέπει να τα κατανοήσει όλα διαμιάς. Όλοι οι προηγούμενοι στίχοι πρέπει να ερμηνευθούν εκ νέου –προς γαρ το τελευταίον εκβάν.  Αποδεικνύεται ότι ο ήλιος είναι μια μεταφορά για τον Yequtiel, ότι το σκοτάδι είναι η κατάθλιψη, η δύση του ήλιου είναι σύμβολο για την ορφάνια. Κάποιος δεν μπορεί να καταλάβει τόσα πολλά σε λίγο χρόνο. Τα περισσότερα απορροφώνται ασυνείδητα, επιτυγχάνοντας τον επιθυμητό στόχο της ασυνείδητης γνώσης πριν επιτευχθεί η αναλυτική κατανόηση. 

 

Τα ποιήματα σήμερα είναι γενικά συνοπτικά/ συμπυκνωμένα. Αλλά αυτός ο κανόνας έχει μια εξαίρεση –τα ποιήματα ανατροπής. Σε ένα τέτοιο ποίημα το μήκος είναι πλεονέκτημα. Όσο μακρύτερο το ποίημα, τόσα περισσότερα πρέπει να απορροφήσει ο αναγνώστης στον στίχο ανατροπής, και στη συνέχεια τόσα περισσότερα πράγματα γίνονται αντιληπτά μόνο ασυνείδητα, γεγονός που παράγει ομορφιά. 

 

Μόνο για τον εαυτό μου 

ήξερα πώς να μιλήσω  

ο κόσμος μου είναι τόσο στενός  

 

όσο ενός μυρμηγκιού. 

 

Οι μαθηματικοί είναι τυχεροί γιατί επιτρέπουν στον εαυτό τους να παίζουν με  προβλήματα, όπως οι ποιητές με τα ποιήματα. Υπάρχουν απλά προβλήματα που αντανακλούν την πρωταρχική δύναμη του πεδίου: την αφαίρεση. Αυτό είναι προφανές, πριν από όλα, στην παρουσίαση των προβλημάτων. Οι οντότητες/ αντικείμενα στα μαθηματικά προβλήματα είναι μαθηματικά αντικείμενα –τα αντίστοιχα πραγματικά δεν έχουν τις ιδιότητες των μαθηματικών και δεν υπακούουν σε αυστηρούς κανόνες. Τα Μαθηματικά είναι η μελέτη συστημάτων που ακολουθούν καλώς ορισμένους κανόνες με σαφήνεια. Αλλά ακόμη περισσότερο από ό,τι στην παρουσίαση του προβλήματος, η αφαίρεση είναι σαφώς ορατή στη λύση του. Η λύση έγκειται στον εντοπισμό των υποκείμενων βασικών κανόνων που διέπουν το μαθηματικό πρόβλημα, αποκαλύπτοντας την εσωτερική του δομή. Η ανατροπή της λογικής συχνά αποκαλύπτει την εσωτερική δομή του μαθηματικού προβλήματος, ακριβώς όπως μια ανατροπή σε ένα ποίημα αποκαλύπτει τα εσώτατα συναισθήματα του ποιητή. 

 

 

 

ΜΕΡΟΣ 2: Η ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΤΗΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 

 

«Η ουσία του πνεύματος έγκειται στην ελευθερία του» λέει ο Hegel, ενώ ο Cantor επαναλαμβάνει ότι «Η ουσία των Μαθηματικών έγκειται στην ελευθερία τους»˙ «Τέχνη σημαίνει ελευθερία» διακηρύσσει ο Klimt. Οι απόψεις αυτές αποκαλύπτουν ένα εξαιρετικά σημαντικό γεγονός: ο φιλόσοφος Hegel, ο μαθηματικός Cantor και ο ζωγράφος Klimt, χρησιμοποιούν τον ίδιο όρο –‘ελευθερία’– για να καθορίσουν την ουσία του τομέα δημιουργίας τους. Αυτή η ιδέα της ελευθερίας αποβαίνει ενοποιητική των διαφορετικών πεδίων/ τομέων και έχει σημαντική σημασία στη μελέτη των διαφόρων πτυχών που αφορούν στη σχέση Μαθηματικών και Ποίησης.   

Μερικοί από τους πιο αντιπροσωπευτικούς μαθηματικούς καθιστούν εμφανή μια φαινομενικά εκπληκτική πτυχή της σχέσης Μαθηματικών και Ποίησης: «σίγουρα, ένας μαθηματικός που δεν είναι τουλάχιστον ποιητής δεν έχει καμία πιθανότητα να γίνει ποτέ ένας ολοκληρωμένος μαθηματικός». Αυτή η δήλωση, του Karl Weierstrass αναφορικά με τα έργα των Abel και Jacobi, επιλέγεται από επιστολή του Weierstrass που απευθύνεται στην Sophia Kowalevskaia, λαμπρή ρωσίδα μαθηματικό και εξαιρετικά όμορφη γυναίκα, με την οποία οι Dostoievski, Weierstrass και Bunsen, είχαν ξετρελαθεί, και η οποία αναφέρει κάτι παρόμοιο: «Είναι αδύνατο να είσαι μαθηματικός χωρίς να είσαι ποιητής στην ψυχή». 

Ο Σουηδός μαθηματικός Gösta Mittag–Leffler (1846 – 1927) κάνει την ακόλουθη προσθήκη: «Η φράση του Weierstrass, ότι ο πραγματικός μαθηματικός είναι ένας ποιητής, μπορεί να φανεί ιδιαίτερα περίεργη στο μεγάλο ακροατήριο. Ωστόσο, αυτή η φράση ισχύει. Δεν προϋποθέτει μόνο ότι ο μαθηματικός και ο ποιητής χρειάζονται φαντασία και διαίσθηση. Όλες οι επιστήμες έχουν ανάγκη από αυτά, αλλά παρ’ όλα αυτά τα Μαθηματικά τα απαιτούν πέρα από το συνηθισμένο. Τα καλύτερα έργα του Abel που έγιναν ποτέ είναι πραγματικά λογικά ποιήματα, όπου η ομορφιά της μορφής αποκαλύπτει το βάθος της σκέψης». Είναι κατανοητό γιατί ο Weierstrass συνεχώς ενθάρρυνε τους μαθητές του να μελετούν τα έργα του Abel. Ο Leopold Kronecker εντάχθηκε σε αυτήν την κοινότητα ιδεών: «Δεν είναι οι μαθηματικοί πραγματικοί και γνήσιοι ποιητές; Πράγματι είναι, απλώς οι παραστάσεις τους πρέπει να αποδειχθούν». 

Το συμπέρασμα της συσχέτισης μεταξύ Μαθηματικών και Τέχνης, από την άποψη της δημιουργικής ελευθερίας, ανήκει στον Abraham Fraenkel: «ο μαθηματικός δεν συμμορφώνεται με καμία υποτέλεια, είναι ένας ελεύθερος και ατρόμητος δημιουργός. Δημιουργεί σε απόλυτη ελευθερία, καθοδηγούμενος αποκλειστικά από τη διαίσθηση του καλλιτέχνη». Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα, η σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Τέχνης φαίνεται να αντιμετωπίζεται κυρίως από τους μαθηματικούς. Η μελέτη μας δίνει επίσης τη δυνατότητα να διερευνήσουμε τις απόψεις μεγάλων καλλιτεχνών και ποιητών και να παρατηρήσουμε ότι η σχέση Μαθηματικών και Τέχνης, και η αισθητική αξία των Μαθηματικών, αναλύεται επαρκώς και από τους καλλιτέχνες, μερικοί από τους οποίους αφιερώνουν εξαιρετικούς ύμνους στα Μαθηματικά. 

Η σύνδεση Μαθηματικών και Τέχνης πραγματώνεται μέσα στα πλαίσια των πραγματικών επιτευγμάτων: τα καλλιτεχνικά ενδιαφέροντα των σπουδαίων μαθηματικών μπορούν να προσφερθούν ως παράδειγμα, ακόμα και αν η καλλιτεχνική τους δραστηριότητα δεν φτάνει στο υψηλό επίπεδο της μαθηματικής δημιουργίας τους. Ο William Hamilton (1805-1865), μεγαλοφυής Ιρλανδός μαθηματικός, ο συγγραφέας της θεωρίας των quaternions (τετρανίων/ τετραδονίων) και –σε συνδυασμό με τον Lagrange– της θεωρίας της Αναλυτικής Μηχανικής, δημιούργησε και Ποίηση, εμπνεόμενος από την ποιητική οραματική του φύση. Συνεργάστηκε με πολύ διακεκριμένους ποιητές της εποχής του, όπως οι Wordsworth και Coleridge. Η κουλτούρα του ήταν τεράστια: ήταν εξοικειωμένος με τον ελληνικό πολιτισμό, τις κλασικές γλώσσες (Ελληνικά, Λατινικά, Εβραϊκά) και τις σύγχρονες γλώσσες, και γνώριζε επίσης τα έργα του Ομήρου και του Μίλτον.  

 

Ακόμη, αξίζει να αναφερθούν οι διάσημοι σύντροφοι, δύο λαμπροί μαθηματικοί της Αγγλίας, συνεργάτες και φίλοι, ο James Sylvester (1814-1897) και ο Arthur Cayley (1821-1895). Ο πρώτος ήταν ποιητής και ερασιτέχνης μουσικός, ο δεύτερος ενδιαφέρεται για τη ζωγραφική και την αρχιτεκτονική. Για να κερδίσει τη ζωή του, ο Cayley αναγκάστηκε επίσης να εργαστεί ως νομικός και ως συμβολαιογράφος. Επίσης, ο Γερμανός μαθηματικός Leopold Kronecker (1823–1891) διακρίνεται ως εξαιρετικός πιανίστας και πραγματικά άξιος οικονομολόγος, ενώ οι δύο επιφανείς μαθηματικοί από την Τρανσυλβανία, Farkas και János Bolyai (1775-1865, αντίστοιχα 1802-1860) πρέπει να αναφερθούν ως εγκυκλοπαιδιστές. Ο Farkas ήταν άξιος γεωμέτρης και μεγάλος δραματουργός, γράφοντας ένα έργο εμπνευσμένο από την ελληνική μυθολογία. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε την αστρική ομορφιά της Γεωμετρίας καλύτερα από ό,τι το έκαμε ήδη ο Farkas Bolyai;: «είναι η σκάλα του Ιακώβ που ανέβηκε το πνεύμα προς τις μεγαλειώδεις ουράνιες σφαίρες με φτερά φλόγας που το έφεραν σε όλους τους γαλαξίες, πέρα από τον βίαια καιόμενο ήλιο». Ο γιος του, ο János, ένας από τους συγγραφείς της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας και πρόδρομος στη Σημειωτική και την Κυβερνητική, ήταν συνθέτης και θεωρητικός της μουσικής και διάσημος βιολιστής που έδινε συναυλίες. Η σύνδεση μεταξύ Μαθηματικών και Λογοτεχνίας τείνει να τονίσει τη σημασία του δεύτερου όρου, χωρίς να αναφέρεται στην ιδέα της μεγαλοφυΐας σε οποιονδήποτε από τους δύο τομείς. 

 

Ο Charles Dodgson (1832-1898) ήταν δάσκαλος της Άλγεβρας στην Οξφόρδη, έγραψε μια μελέτη για τα γραμμικά συστήματα και είχε σημαντική συνεισφορά στη διοικητική μέριμνα, τη δημοσίευση σχολικών βιβλίων Άλγεβρας, Γεωμετρίας και Τριγωνομετρίας. Όμως, όλες αυτές οι πτυχές δεν εδραιώνουν τη φήμη του Dodgson στην ιστορία των Μαθηματικών, καθώς το όνομα αυτό δεν θα αναφερόταν σήμερα, αν δεν υπήρχε το ιδιαίτερα αξιοσημείωτο ταλέντο του. Ο Dodgson δημοσίευσε, με το όνομα Lewis Caroll, τις θαυμάσιες ιστορίες που έχουν συναρπάσει τόσες πολλές γενιές, σε όλο τον κόσμο: Οι Περιπέτειες της Αλίκης στη Χώρα των Θαυμάτων και Η Αλίκη Μέσα από τον Καθρέφτη. Πέρα από τον κόσμο των παραμυθιών, οι περιπέτειες της Αλίκης χαρακτηρίζονται από «νοητικούς γρίφους, διαλόγους με μαθηματικό υπόστρωμα, λογικά εκμεταλλευόμενοι τις αδυναμίες της αγγλικής γλώσσας και εδώ και εκεί υπάρχουν αντηχήσεις της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας». Είναι λοιπόν μια εξαιρετικά κατάλληλη στιγμή να αναφέρουμε τις απόψεις άλλων καλλιτεχνών και ποιητών για τα Μαθηματικά και την ομοιότητά τους με την Τέχνη. 

 

Ο γάλλος ποιητής Isidore Ducasse, γνωστός ως Lautréamont (Μοντεβίδεο 1846 –  Παρίσι 1870), θεωρούμενος ως άνθρωπος μεγαλοφυής, είχε μεγάλο ενδιαφέρον και πάθος για τα Μαθηματικά. Πίστευε ότι «η Ποίηση είναι, με την αληθινή έννοια της λέξης, Γεωμετρία». Το Les Chants de Maldoror, το διάσημο, αλλά παράξενο έργο του, αποκαλύπτει ένα άφθονο μη Ευκλείδειο περιεχόμενο και μια αστείρευτη πραγματικότητα, παρόμοια με το οραματικό σύμπαν των Bolyai και Lobacevski, περιλαμβάνει πολλές ενδιαφέρουσες σκέψεις για τα Μαθηματικά, την επιστήμη που πραγματικά τιμούσε. 

 

Αυτή η λατρεία ισοδυναμεί και συμπληρώνει την έκφραση του μεγάλου Γερμανού ρομαντικού Novalis (1772-1801, πραγματικό όνομα Friedrich Leopold von Hardenberg), ο οποίος έχει σωρεύσει ευρεία επιστημονική και γενική γνώση κατά τη διάρκεια των πανεπιστημιακών σπουδών του στην Jena, στη Λειψία και στο Wittenberg, με τα Μαθηματικά να κατέχουν ιδιαίτερη θέση μεταξύ των πολιτιστικών σπουδών του. Το ‘Ύμνος στα Μαθηματικά’ του Novalis εκφράζει απαράμιλλο ενθουσιασμό και σπάνια κατανόηση των Μαθηματικών: «Τα Μαθηματικά είναι η ζωή των Θεών. Όλοι οι απεσταλμένοι τους πρέπει να είναι μαθηματικοί. Τα καθαρά Μαθηματικά είναι θρησκεία. Κάποιος μπορεί να φτάσει στα Μαθηματικά μόνο μέσω της Θεοφανίας. Τα Μαθηματικά είναι Ποίηση. Ο ποιητικός φιλόσοφος βρίσκεται στη θέση του Απόλυτου Δημιουργού. Το τρίγωνο και το άθροισμα των γωνιών του είναι το αποτέλεσμα μιας τέτοιας πράξης δημιουργίας. Ο μαθηματικός είναι, επομένως, ένας ποιητικός φιλόσοφος που σκέπτεται τον νου  ως ένα ξεχωριστό σύμπαν».  

Η τελευταία φράση αυτού του αποσπάσματος οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο Novalis έχει καταλάβει πολύ καλά ότι ο μαθηματικός, αντί να περιγράφει τον εξωτερικό υλικό κόσμο, αποσκοπεί στη δημιουργία ενός ελεύθερου, αυτόνομου κόσμου που ανήκει εξ ολοκλήρου στο σύμπαν της σκέψης. Αυτή η πτυχή δηλώνεται ξεκάθαρα από τον Novalis όταν επισημαίνει ότι η γλώσσα της Ποίησης είναι μια ‘αυτόνομη γλώσσα’, παρόμοια με τους ‘μαθηματικούς τύπους’ που «συνθέτουν έναν αυτο-αντιπροσωπευτικό κόσμο που παίζει μόνο με τον εαυτό του», θεωρώντας επιπλέον ότι η ‘Άλγεβρα’ και η ‘δομή’ συμβολίζουν τα πνευματικά χαρακτηριστικά της Ποίησης. Ο Novalis, και αμέσως μετά από αυτόν, ο ποιητής Edgar Allan Poe (1809-1849) εισάγει στην ποιητική θεωρία την έννοια του ‘υπολογισμού’. Ο Edgar Poe αναφέρεται στη συγγένεια μεταξύ των ποιητικών θεμάτων και της «αυστηρής λογικής ενός μαθηματικού προβλήματος», θεωρώντας ότι «κάθε ποίημα είναι θεώρημα και οι στίχοι του είναι η απόδειξή του». 

 

 

Ο γάλλος ποιητής Charles Baudelaire (1821-1849), αναλαμβάνει και επεκτείνει την έννοια του ‘υπολογισμού’, λέγοντας κατηγορηματικά ότι «όλα όσα είναι όμορφα και ευγενή είναι αποτέλεσμα λόγου και υπολογισμού». Για τον Baudelaire η μεταφορά είναι ίση με τη ‘μαθηματική ακριβολογία / ακρίβεια’ και το στυλ μπορεί να τοποθετηθεί δίπλα στα ‘θαύματα των Μαθηματικών’. Το Les Fleurs du Mal, του Baudelaire, είναι το «βιβλίο με την πιο αυστηρή αρχιτεκτονική στην ευρωπαϊκή λυρική ποίηση», με τον συγγραφέα του να θεωρεί ότι η Ποίηση είναι συναφής με τη μουσική και τα Μαθηματικά (Hugo Friedrich: The Structure of Modern Lyricism).    

 

Άλλοι ποιητές βιώνουν την ίδια αντήχηση μέσα στην οικειότητα των Μαθηματικών, η οποία βρίσκεται στην πραγματικότητα πολύ κοντά στην Ποίηση και τη μουσική. Ο γάλλος ποιητής Stephane Mallarmé (1842-1898) παραλαμβάνει την ιδέα των Μαθηματικών του Baudelaire και δημιουργεί μια θαυμάσια ‘ποίηση του χώρου’. Ο Paul Claudel (1862-1955), αποκτώντας την ποιητική του διάπλαση στον λογοτεχνικό κύκλο του Mallarmé, πιστεύει ότι «η μουσική είναι η ψυχή της Γεωμετρίας». Ο Βέλγος ποιητής Maurice Maeterlinck (1862-1949), βραβευμένος με το βραβείο Νόμπελ Λογοτεχνίας (1911), ο συγγραφέας του έργου Pelléas and Mélisande (1892), με τον Claude Debussy να δημιουργεί τη μουσική του έκδοση, έγραψε πολλά ενδιαφέροντα έργα για τα Μαθηματικά .  

Καθοδηγούμενος από την πεποίθηση ότι «τα Μαθηματικά προηγούνται της σκέψης μας, της ικανότητάς μας να φανταζόμαστε και να αντιλαμβανόμαστε», ο Maeterlinck διερωτάται κατά πόσο «τα Μαθηματικά δεν είναι ένα μαγικό όργανο το οποίο, όπως και στα παραμύθια, γίνεται ο ιδιοκτήτης του χεριού που πιστεύεται ότι είναι ο ιδιοκτήτης, που το καθορίζει να εκτελεί, χωρίς να το γνωρίζει, θαύματα;». Δίνει την ακόλουθη απάντηση: «Προφανώς, τα Μαθηματικά μας επιτρέπουν να εξετάσουμε τι είναι μέσα μας. Τα Μαθηματικά μεταφράζουν αυτά που δεν μπορούμε να εκφράσουμε ακόμα, αυτά που δεν μπορούμε ακόμα να στοχαστούμε και όταν εισερχόμαστε σε έναν ανώτερο χώρο, ένα μη Ευκλείδειο που αποτελείται από περισσότερες από τρεις διαστάσεις, τα Μαθηματικά υποστηρίζουν ότι αυτός ο χώρος είναι πραγματικά μέσα μας, περιμένοντας εκεί από την αρχή του κόσμου. Τα Μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως ένα από τα πιο περίεργα όργανα έρευνας, ένας απροσδόκητος ερμηνευτής του λανθάνοντος ανθρώπου ». 

 

Υποστηρίζοντας μια τέτοια άποψη για τα Μαθηματικά, ο Maeterlinck εμφανίζεται ως ένθερμος υπερασπιστής της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας, της οποίας τη νομιμότητα αναγνωρίζει: «από μαθηματική και γεωμετρική άποψη, όλες οι ιδέες για το διάστημα, ανεξάρτητα από τις διαστάσεις του, μπορούν να συναχθούν και να δικαιολογηθούν με απολύτως λογικό τρόπο». Αυτή η στάση εμφανίζεται σε μια περίοδο όπου οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες έχουν ακόμα πολλούς αντιπάλους μεταξύ των μαθηματικών και των φιλοσόφων. Σύμφωνα με τις προαναφερθείσες ιδέες του, ο Maeterlinck φαίνεται να ολοκληρώνει τον Edgar Poe, προσπαθώντας να συνυπογράψει την ποιητική μεταρρύθμισή του στη λογική αξία των Μαθηματικών: «αυτοί οι όροι / συνθήκες ενέπνευσαν τη σκέψη μου ως ένα αναπόφευκτο αποτέλεσμα επιχειρηματολογίας τόσο λογικής, όσο αυτή που εγκαθιδρύεται πάνω σε οποιαδήποτε Ευκλείδεια απόδειξη ». Είναι πραγματική ανακούφιση για τους μαθηματικούς να λάβουν γνώση του γεγονότος ότι οι πιο αντιπροσωπευτικοί ποιητές του κόσμου μένουν πιστοί σε ένα παρόμοιο όραμα. Αυτή η αίσθηση αγαλλίασης φτάνει στο αποκορύφωμά της όταν αναφέρεται ο Paul Valéry (1871-1945), ο ποιητής και θεωρητικός που περιγράφει την Ποίηση ως ‘αληθινά Μαθηματικά’, όντας ένας εξαιρετικά ικανός εμπειρογνώμονας, ανεπιφύλακτα λάτρης της «πιο όμορφης όλων των επιστημών». 

Ο γάλλος ποιητής αξιολόγησε ιδιαίτερα την υψηλή αξία του Ρουμάνου  συγγραφέα, μαθηματικού και λογοτέχνη Matila Ghyka (1881-1965), ενός από τους υποστηρικτές της μαθηματικής αισθητικής, δίπλα στον Αμερικανό μαθηματικό Georg D. Birkhoff (1884-1944). Ο Paul Valéry αντιλήφθηκε πραγματικά την ουσία των Μαθηματικών που επιβεβαιώνεται από πολλά αποσπάσματα αφιερωμένα στα Μαθηματικά, τα οποία βρίσκονται στα θεωρητικά του γραπτά. Για παράδειγμα, σε συμπλήρωση της δήλωσης του Cantor σχετικά με την ελευθερία των Μαθηματικών, ο γάλλος ποιητής δηλώνει τα εξής: «Η ελευθερία του τρόπου δράσης τους, η αίσθηση της αυτογνωσίας που αποκτάται μέσω της δικής τους διαδικασίας εξέλιξης, φαίνεται να απομακρύνει τα Μαθηματικά από την πραγματικότητα, τοποθετώντας τα σε έναν κόσμο παιχνιδιών, δυσκολιών και χάρης, τα οποία ωστόσο τα έχουν επενδύσει με μια υπέροχη ευελιξία». 

 

Ο Valéry θεωρεί ότι «το θεώρημα είναι σχετικό με την Τέχνη» και ότι οι γεωμέτρες αξίζουν την εκτίμηση επειδή «μπορεί κάποιος να αποκτήσει γνώσεις εξαιρετικών περιπτώσεων της περίεργης προσπάθειάς τους για αυτή την αυστηρή ομορφιά», που τον φέρνει πιο κοντά στον σπουδαίο μαθηματικό Herman Weyl: «Έχω συνεχώς την αίσθηση της ανάγκης συγχώνευσης της αλήθειας και της ομορφιάς. Αλλά, κάθε φορά που πρέπει να επιλέξω μεταξύ τους, επιλέγω πάντα την ομορφιά». Οι αναστοχαστικές σκέψεις του Valéry πάνω στη Γεωμετρία, την αξιωματική, τη λογική και τη σημειωτική είναι πράγματι πρόκληση, αλλά το όραμά του για την ελληνική Γεωμετρία παραμένει πραγματικά πολύτιμο στον χρόνο: «Η Ελλάδα ίδρυσε Γεωμετρία. Αυτό φαίνεται να αντιπροσώπευε ένα χωρίς νόημα έργο: εξακολουθούμε να διαφωνούμε για μια πιθανή πράξη τρέλας. Πώς πραγματώθηκε αυτός ο παράξενος τύπος δημιουργίας; Σκεφτείτε ότι ούτε οι Αιγύπτιοι, ούτε οι Κινέζοι, οι Χαλδαίοι ή οι Ινδοί έχουν φτάσει ποτέ σε μια τέτοια απάντηση. Σκεφτείτε ότι είναι μια συναρπαστική περιπέτεια, μια ωφέλεια δέκα χιλιάδες φορές πιο πολύτιμη και πιο ποιητική από αυτή του Χρυσόμαλλου Δέρατος».  

Αντιμέτωποι με τόσο βαθύ θαυμασμό, έρχεται χωρίς έκπληξη το γεγονός ότι ένας πρώτης τάξεως μαθηματικός, όπως ο Alfred Renyi, θεωρεί τα ελληνικά Μαθηματικά ως το μεγαλύτερο επίτευγμα του ελληνικού πνεύματος. Ένας άλλος εξίσου σημαντικός μαθηματικός, ο G.H. Hardy, εκφράζει την άποψή του με τον ακόλουθο τρόπο: «Η αθανασία έρχεται μόνο με τα Μαθηματικά. Ο Αισχύλος θα βυθιστεί σίγουρα στη λήθη καθώς μεγάλο μέρος του έργου του έχει ήδη ξεθωριάσει, ενώ ένα Ευκλείδειο θεώρημα και η απόδειξή του δεν θα ξεχαστούν ποτέ, αποκτώντας μονιμότητα. Μια Διοφαντική εξίσωση είναι τόσο αυστηρή και αναποφάσιστη (σύμφωνα με το θεώρημα μη πληρότητας του Gödel) όσο και όταν καταγράφηκε για πρώτη φορά. Αυτό το θαύμα δεν προκύπτει σε καμία άλλη ανθρώπινη δομή ή προσπάθεια. Πρώτα από όλα, είμαστε πρωτεύοντα που διαθέτουν δεξιότητες υπολογισμού». 

Έχουν αναφερθεί μέχρι στιγμής σπουδαίοι μαθηματικοί και ποιητές, καθένας με τη δική του εκδήλωση δημιουργικής ιδιοφυΐας σε ένα μόνο χώρο ενδιαφέροντος. Η ιστορία του παγκόσμιου πολιτισμού καταγράφει κάποιες εξαιρετικές προσωπικότητες προικισμένες εξίσου με μαθηματική και ποιητική μεγαλοφυΐα. Χρονολογικά, ο πρώτος που αναφέρεται είναι ο Omar Ibrahim El Khayam (1048-1123) ο μεγαλύτερος ποιητής της μεσαιωνικής Περσίας και, ταυτόχρονα, ο πιο αντιπροσωπευτικός μαθηματικός της Ανατολής. Όσον αφορά στα Μαθηματικά, ο Omar Khayam κατάφερε να ξεπεράσει κατά μερικούς αιώνες τους δυτικοευρωπαίους μαθηματικούς, ενώ το περίφημο έργο του Rubayate τον ανακήρυξε μεταξύ των μεγάλων ποιητών του κόσμου. Παρ’ όλα αυτά, ανάμεσα στα Μαθηματικά και την Ποίηση, που στέκονται ως δύο τύποι ατομικής δημιουργίας, δεν υπάρχει ακόμη μια συγκεκριμένη σύνδεση. Η σύνδεση, και μάλιστα ο αμοιβαίος προσδιορισμός, η αλληλεπίδραση, ο ‘γάμος’ μεταξύ των Μαθηματικών και της Ποίησης, επιτρέποντας στις δύο πρώτες σφαίρες του νου να αποτελούν αναπόσπαστο μέρος του ίδιου χώρου ενδιαφερόντων, θα επιτευχθεί στα επόμενα χρόνια.   

Όλες αυτές οι πτυχές/ απόψεις, που αναφέρθηκαν πιο πάνω, αποκαλύπτουν τη βαθιά αμηχανία του ανθρώπινου πνεύματος που κατακλύζεται από την εκστατική συγκέντρωση της εσωτερικής ομορφιάς του, η οποία είναι διαφόρων τύπων. Ο Escher θεωρεί την Υπερβολική Γεωμετρία ως το καταλληλότερο μέσο και υπόβαθρο για την επίτευξη αυτής της ανώτατης κατάστασης. Οι ‘Limit circles’/ ‘Οριακοί κύκλοι’ του Escher είναι το καλύτερο παράδειγμα αυτού του τύπου Γεωμετρίας, που αντιπροσωπεύει, στην πραγματικότητα, ένα καλλιτεχνικό αντίστοιχο των διάσημων γεωμετρικών μοτίβων του Bolyai και του Lobacevski, δίνοντας πίστη γι’ αυτό στις απόψεις των Klein και Poincaré. Ο Escher, επίσης, εντοπίζει αξιόλογες καλλιτεχνικές αξίες στην περίφημη μονοπρόσωπη επιφάνεια του Möbius, κρατώντας μια εξαιρετικά σημαντική θέση για τη Διαφορική Γεωμετρία. Η δημιουργία του Escher επιτρέπει μια πολύ ενδιαφέρουσα επέκταση της σχέσης Μαθηματικών και Τέχνης, η οποία ενισχύεται περαιτέρω από τα περιοριστικά θεωρήματα του Gödel (1931), την κορύφωση της μαθηματικής λογικής του 20ου αιώνα, που στέκεται ως σημαντική επιστημονική ανακάλυψη με μεγάλες επιπτώσεις σε ολόκληρο τον σύγχρονο πολιτισμό. 

Ο Solomon Marcus αναφέρεται σε ένα αξιοσημείωτο γεγονός σχετικά με τη δημοσίευση ενός βιβλίου που επικεντρώνεται στη συμμετοχή σημαντικών προσωπικοτήτων στον παγκόσμιο πολιτισμό: «Ένα εντυπωσιακό βιβλίο (Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: an eternal golden braid) που αναλύει προσεκτικά τον τρόπο με τον οποίο η τέχνη της φούγκας του Μπαχ, που βρίσκουμε στο Περιπέτειες της Αλίκης στη χώρα των θαυμάτων του συγγραφέα-μαθηματικού Lewis Caroll, και σε διάφορα έργα του Escher, εμπνέεται από την αναδρομική και αυτοαναφερόμενη σκέψη της σύγχρονης Μαθηματικής Λογικής, σχετιζόμενη κυρίως με τα επιτεύγματα του Gödel». Ο Marcus σημειώνει μια άλλη πτυχή της αξιοσημείωτης πολιτιστικής αξίας των θεωρημάτων του Gödel: «Μετά τις τεράστιες προσπάθειες του Russell και του Hilbert, δύο μαθηματικών που ξεκινούν το έργο της εξάλειψης από τη μαθηματική γλώσσα του κινδύνου του ναρκισσισμού, ο Gödel επισημαίνει την επικείμενη αυτή παγίδα, καθώς αντιπροσωπεύει στην πραγματικότητα τη μοίρα και την ουσία των Μαθηματικών. Αλλά η προσπάθεια να αποφευχθεί αυτό το γεγονός είναι τόσο αναπόφευκτη και ουσιαστική όσο η ίδια η παγίδα». Η ‘ουσία των Μαθηματικών’, που συνίσταται στην «απόλυτη ελευθερία της γλώσσας» τους, η οποία αναπόφευκτα την φέρνει πιο κοντά στον ‘ναρκισσισμό’, την συνδέει με την ‘δύσκολη ελευθερία’ της Ποίησης του ρουμάνου ποιητή-μαθηματικού Ion Barbu: «καθαίροντας τον κόσμο στο σημείο της αντανάκλασης μόνο της εικόνας του πνεύματός μας˙ μια τυπική πράξη ναρκισσισμού».  

Αναμφισβήτητα, η γενική σχέση Μαθηματικών και Τέχνης και ειδικά Μαθηματικών και Ποίησης είναι αρκετά περίπλοκη και ανεξάντλητη. Χωρίς βέβαια να εξαντλεί το θέμα, η μελέτη δίνει έμφαση σε ορισμένες σημαντικές πτυχές του προβλήματος˙ ξεκίνησε αποκαλύπτοντας τη σημασία της έννοιας της ελευθερίας. Ο ίδιος όρος εμφανίζεται στο τελικό απόσπασμα του Nicolas Bourbaki (ψευδώνυμο της ομάδας γάλλων μαθηματικών, μεταρρυθμιστών των σύγχρονων Μαθηματικών), περιγράφοντας την απόλυτη ελευθερία του μαθηματικού στην επιλογή των αξιωμάτων του: «Αυτή η ελευθερία σχετίζεται με την απουσία της οποιασδήποτε σύνδεσης με την πραγματικότητα, που αναπόφευκτα μας καθοδηγεί να σκεφτόμαστε τη σύγχρονη Τέχνη˙ στην πραγματικότητα μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι, από μια συγκεκριμένη άποψη, τα σύγχρονα Μαθηματικά είναι περισσότερο Τέχνη παρά Επιστήμη». 

 

Συμπέρασμα 

 

Το ερώτημα για την ομορφιά ερευνάται στην τομή των δύο πεδίων –Μαθηματικών και Ποίησης. Αυτό περιορίζει την περιοχή που βρίσκονται τα κρυμμένα κοινά χαρακτηριστικά που αναζητούμε και δίνει περισσότερες πιθανότητες να τα βρούμε.  Μελετώνται κάποιες τεχνικές –μετατόπιση και ανατροπή- και χαρακτηριστικά που είναι κοινά και στα δύο πεδία. Παρέχονται επίσης στοιχεία για το ότι τόσο στα Μαθηματικά όσο και στην Ποίηση η ομορφιά δημιουργείται από τις κρυμμένες δομές/ μοτίβα/ πρότυπα (structures/ patterns) και ιδέες που είναι τόσο εκπληκτικές που δεν συλλαμβάνονται ακαριαία από τη συνειδητή σκέψη, παρά μόνο από την ενεργητική  φαντασία και την ασυνείδητη γνώση. Επίσης, στη συνέχεια, αναδεικνύεται η σχέση ανάμεσα στα Μαθηματικά και την Ποίηση, όπως αυτή παρουσιάζεται στο όραμα σπουδαίων μαθηματικών και ποιητών και προβάλλεται ως ενοποιητικός παράγοντας η ελευθερία της δημιουργικής πράξης.  

 

Πηγές Πληροφορίας  

•  
• Aharoni, R. (2014). Mathematics, poetry and beauty. Journal of Mathematics and the Arts, September. 
• Brescan, M. (2009). Mathematics and art. Scientific Studies and Research, Series Mathematics and Informatics Vol. 19, No. 2, 99 – 118. 
• Barbu, I. (1987). Poetry. Prose. Journalism. Bucureşti, Minerva. 
• Birken, M. and Coon, A. C. (2008). Discovering Patterns in Mathematics and Poetry. Rodopi, Kenilworth, NJ. 
• Brescan, M. (2001-2006). Writers, Artists and Mathematics. Axioma, Ploieşti. 
• Dickinson, E. Poems: Third Series. Mabel Loomis Todd (ed.), Amherst, in: Project Gutenberg EBook # 12241, Jim Tinsley (producer), May 3, 2004.  
• http:// www.gutenberg.org/files/12241/12241.txt. 
• Dickinson, E. (1958). The Letters of Emily Dickinson. Thomas H. Johnson (ed.), Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, MA. 
• Goldberg, L. (2005). Selected Poetry and Drama. Translated by Zvia Back, Toby Press.  
• Goldberg, L. (2005). The Diaries of Lea Goldberg. A. Aharoni and R. Aharoni (eds.), Sifriat Poalim, Tel Aviv.  
• Gabirol, Ibn S. (2001). Selected Poems. Translated by Peter Cole, Princeton University Press, Princeton, NJ.  
• Friedrich, H. (1969). The Structure of Modern Lyricism. Hamburg/ Bucharest, Universal Literature Printing House. 
• Hofstadter, D. R. (1970). Gödel, Escher, Bach: an eternal golden braid. Basic Books, New York 
• Marcus, S. (1979). The Mathematical Poetics. Bucureşti, Academia. 
• Marcus, S. (1986). Art and Science. Bucureşti, Eminescu. 
• Marucs, S. (1986). The Shock of Mathematics. Bucureşti, Albatros. 
• Marcus, S. (1989). Invention and Discovery. Bucureşti, Cartea Românească. 
• Tóth, I. (1969). Achilles. The Eleatic Paradoxes in the Phenomenology of the Spirit. Bucureşti, Ştiinţifică. 
• Toth, I. (2009). “Deus fons veritatis”: the Subject and its Freedom. The Ontic Foundation of Mathematical Truth. A biographical-theoretical interview with Gaspare Polizzi. Academic Publishing Platforms, Iris, vol.1, no 1, April, p. 29-80. 

 

 

 

 

 * O Δημήτρης Γαβαλάς είναι μαθηματικός, ποιητής, συγγραφέας.